Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։c’;

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to c}f(x)=L,$

և կարդացվում է $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $f(x)\to L{\text{ as }}x\to c$ ։

Ֆունկցիայի սահման

Ենթադրենք $f$ -ը իրական ֆունկցիա է իսկ $c$ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունըlim→ $\lim _{x\to c}f(x)=L$

ինտուիտիվ նշանակում է, որ $f(x)$ ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ $L$ -ին՝ $x$ թիվը $c$ -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիայի սահմանը, երբ $x$ -ը ձգտում է $c$ -ի հավասար է $L$ -ի»։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե $f(c)\neq L$ ։ Տրված $f$ ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել $c$ կետում։

Օրինակ, եթե $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ուրեմն(1) $f(1)$ -ը սահմանված չէ, բայց երբ $x$ -ը ձգտում է 1 $1$ -ի, $f(x)$ -ը ձգտում է 2 $2$ -ի.

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	սահմանված չէ	2.001	2.010	2.100

Հետևաբար, $f(x)$ -ի արժեքը կարող է 2 $2$ -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ $x$ ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, lim $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական $x$ թվի համար ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ ։

Քանի որ 1 $x+1$ ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել1 $x=1$ արժեքը, հետևաբար՝ $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝ $f(x)={2x-1 \over x}$

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ $x$ արժեքների դեպքում $f(x)$ ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ $f(x)$ ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ $x$ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝ $\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2$ ։

Հաջորդականության սահման]

Հիմնական հոդված՝ Հաջորդականության սահման

Ենթադրենք $a_{1},a_{2},...$ -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ $L$ իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ,

որը կարդում են՝ $a_{n}$ հաջորդականությանը սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, $L$ է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որԿամայական>00}”> իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $N$ բնական թիվ, որ բոլոր N}”> թվերի համար ճիշտ է <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85251ef62e15c6fd0f510879850064ac6034c969" alt="{\displaystyle |a_{n}-L| արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ $|a_{n}-L|$ բացարձակ արժեքը $a_{n}$ -ի և $L$ -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝ $a_{n}$ հաջորդականության սահմանը, երբ $n$ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ $n$ բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Category: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները | LEAVE A COMMENT

December 18

e թվի Իռացիոնալության ապացուցում

Իռացիոնալության ապացուցում

$e$ թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
, տես նաև Էյլերի բանաձևը, մասնավորապես՝
- $e^{i\pi} + 1 = 0 \,\!$
- $e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1)$

Բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում $e$ և $\pi$ թվերի միջև՝

այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$

սահման

$e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n}$

Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվի համար ճիշտ են հետևյալ հավասարումները՝ $e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$ :

$e$ թիվը կարելի է գրել անվերջ շղթայական կոտորակի տեսքով հետևյալ ձևով՝

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \,$ , այսինքն՝

2+11+12+11+11+14+11+11+16+11+11+18+11+11+110+11+… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}}$

կամ նրան համարժեքը՝

2+11+12+23+34+4… $e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}}$

Արագ մեծ թվով նշանների հաշվման համար հարմար է օգտագործել հետևյալ տեսքը՝

$\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}$

$e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$ ։
Կատալանայի ներկայացումը՝

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots$

Արտադրյալի տեսքով ներկայացում՝

$e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}$

Բելլի թվի միջոցով՝

$e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$

$e$ թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։

Պատմություն

Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թվական)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում $x$ թվի լոգարիթմը հավասար էր 107⋅log1/(107) $10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!$ ։

Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։

Ենթադրվում է, որ աղյուսակի հեղինակը եղել է անգլիացի մաթեմատիկոս Օտրեդը։

Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00×1.5²=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00×1.25⁴=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828…

1.00×(1+1/12)¹² = 2.613035… դոլար

1.00×(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714568… դոլար

Այսպիսով, $e$ հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։

Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր $b$ տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնից Գյույտենսուի նամակներում։

$e$ տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, $e$ –ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել $c$ տառը, այնուամենայնիվ $e$ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։

Ինչու հենց $e$ տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է $exponential$ («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ $a, b, c$ և $d$ տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և $e$ -ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ $e$ -ն հանդիսանում է Էյլերի ( $Euler$ ) ազգանվան առաջին տառը։

Մոտարկումներ

Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
Հիշվող կանոն՝ 2 և 7, հետո երկու անգամ Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվը (1828), այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները (45, 90 և 45 աստիճաններ)։
$e$ թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆ նախագահ Էնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ 666245≈2,718 ${666 \over 245} \approx 2,718$ ։
թիվը հիշվում է որպես 66610⋅666−13 $\frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13}$ (0,001-ի ճշտությամբ)։
$e$ թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է⋅cos⁡6 $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է 5⋅−13 $5 \cdot \pi - 13$ արտահայտությամբ։
«Բոյինգի կանոնը».≈4⋅sin⁡0,747 $e \approx 4 \cdot \sin 0,747$ տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
10−7 $10^{-7}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−563 $\,\,\,\,e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\,$ ,

10−9 $10^{-9}$ -ի ճշտությամբ՝≈2,7+182899990 $e \approx 2,7 + \frac {1828}{99990}$ ,4,6⋅10−10 $4,6 \, \cdot \, 10^{-10}$ -ի ճշտությամբ՝≈3−9394337 $\,\, \,\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}$ :

1/≈(1−1106)106 $1/e \approx (1-\frac{1}{10^6})^{10^6}$ , 0,000001 ճշտությամբ։
19/7 հարաբերությունը $e$ թիվը գերազանցում է 0,004-ից փոքր։
87/32 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,0005-ից փոքր։
193/71 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00003-ից փոքր։
1264/465 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000003-ից փոքր։
2721/1001 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000002-ից փոքր։
23225/8544 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00000001-ից փոքր

Category: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները | LEAVE A COMMENT

December 18

e (թիվ) Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները

$e$ թիվ – բնական լոգարիթմի հիմքը, մաթեմատիկական հաստատուն, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թիվ։ Երբեմն $e$ -ն անվանում են Էյլերի թիվ կամ Նեպերի թիվ։ Նշանակվում է լատինական « $e$ » փոքրատառով։

$e$ թիվը կարևոր դեր է կատարում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

Քանի որ $e^x$ ցուցչային ֆունկցիայի ինտեգրալը և դիֆերենցիալը հավասար են հենց իրեն, այդ իսկ պատճառով $e$ հիմքով լոգարիթմները ընդունվում են որպես բնական։

Տնտեսական առումով $e$ թիվը նշանակում է առավելագույն հնարավոր տարեկան եկամուտ 100% տարեկան աճի դեպքում և տոկոսի կապիտալիզացիայի առավելագույն հաճախություն։

Որոշման եղանակները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$e$ թիվը կարող է որոշվել մի քանի եղանակներով։

Սահմանի միջոցով՝

$e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ (երկրորդ նշանավոր սահմանը)։

Որպես շարքի գումար՝

$e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ կամ ${\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}$ $e = 2 + \sum \limits _{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}$ :

Որպես միակ $a$ թիվ, որի համար տեղի ունի՝

∫1=1 $\int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1$ :

Որպես միակ դրական $a$ թիվ, որի համար ճիշտ է՝

$\frac d {dt} a^t = a^t$ :

e թվի արժեքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$e$ = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Ստորակետից հետո $e$ թվի առաջին 1000 նիշերը^[1]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\frac{de^x }{dx} = e^x$ ։

Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ, $\frac{df(x)}{dx} = f(x)$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է $\!f(x) = c e^x$ ֆունկցիան, որտեղ $c$ -ն կամայական հաստատուն է։

$e$ թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շարլ Էրմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ $e$ -ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։

Category: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները | LEAVE A COMMENT

December 18

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Տարամիտություն և զուգամիտություն)

Տարամիտություն և զուգամիտություն , մաթեմատիկական հասկացություններ, որոնցով անվանվում են տվյալ փոփոխական մեծության վերջավոր սահման ունենալը (զուգամետ) կամ չունենալը (տարամետ)։ Այս իմաստով են հասկացվում հաջորդականության, շարքի, անվերջ արտադրյալի, անիսկական ինտեգրալի տարամիտություն և զուգամիտություն։ Ասում են, որ [an] հաջորդականությունը զուգամիտում է a-ին, եթե liman = a։ Զուգամիտության հասկացությունն արդարացվում է, օրինակ, այն դեպքերում, երբ մաթեմատիկական որևէ օբյեկտ ուսումնասիրելիս կառուցվում է որոշ իմաստով ավելի պարզ այնպիսի օբյեկտների հաջորդականություն, որոնք հետզհետե մոտենում են տրվածին։ Այսպես, օրինակ, շրջանագծի երկարությունը սահմանելու և ցանկացած մոտավորությամբ հաշվելու համար օգտվում են շրջանագծին ներգծած կանոնավոր բազմանկյունների պարագծերի հաջորդականությունից։ Միևնույն մեծությունը կարելի է ներկայացնել տարբեր շարքերով։ Ուստի կարևոր նշանակություն ունի շարքի զուգամիտման «արագությունը», որի համար տրվում են տարբեր սահմանումներ, օրինակ, եթե Гп-ը և pn-ը երկու զուգամետ շարքերի մնացորդներ են և lim !ճ=0, ապա առաջին շարքը զուգամիտում է ավելի արագ։ Գոյություն ունեն շարքերի զուգամիտումը «լավացնելու», այսինքն՝ տվյալ շարքն ավելի արագ զուգամիտող շարքով փոխարինելու տարբեր եղանակներ։ Եթե {an} հաջորդականության անդամները պատկերենք որպես թվային ուղղի կետեր, ապա այդ հաջորդականության զուգամիտումն a-ին կնշանակի, որ ո-ը աճելիս an և a կետերի միջև հեռավորությունը ցանկացած չափով փոքրանում է։ Այս իմաստով տարամիտություն և զուգամիտություն հասկացություններն ընդհանրացվում են հարթության և տարածության կետերի, ընդհանրապես այնպիսի օբյեկտների հաջորդականության դեպքում, որոնց համար այս կամ այն իմաստով սահմանվում են հեռավորության, նորմայի, շրջակայքի հասկացություններ։ Ֆունկցիաների հաջորդականության համար սահմանվում են տարբեր իմաստներով զուգամիտություններ, զուգամիտություն որևէ կետում, բազմության վրա, բազմության վրա գրեթե ամենուրեք, բազմության վրա հավասարաչափ, ըստ չափի և այլն։ Արդի մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում դիտարկվում են նաև զուգամիտություններ ըստ նորմայի, թույլ, ըստ մասնակիորեն կարգավորյալ բազմության, ըստ հավանականության ևն։ Տարամետ շարքերը նույնպես լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայում և նրա կիրառություններում, տարբեր եղանակներով նրանց վերագրելով ընդհանրացված իմաստով գումարներ (տես շարքերի գումարման մեթոդներ)։

Category: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները | LEAVE A COMMENT

December 15

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Սահման, ներածություն
Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները(Սահման)

Category: Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի կիրառությունները | LEAVE A COMMENT

June 9

Տարվա հաշվետվություն

Այս ուսումնական տարին ևս ավարտվեց և կարող եմ վստահաբար ասել որ անցկացրել եմ անմոռանալի և հետաքրքիր տարի։Այս տարի առաջին անգամ փորձեցի լինել դասավանդող և կարող եմ ասել որ բավականին արդյունավետ,այդ հնարավորությունը ստացա ԴԻՋԻՏԵՔ 2022 ընթացքում,և դասավանդեցինք SCRATCH խաղերի ստեղծման լեզուն, տարրական դասարանի աշակերտների։Կարող եմ ասել որ դասավանդման արդյունքում ձեռք բերեցի փորձ այդ բնագավառում նաեւ բավականության զգացում։
Ստորեւ նախագծերի ամփոփումները՝

Դասավանդում Scratch

Հունվարյան հաշվետվություն

SCRATCH ծրագրի դասավանդում։ Դիջիթեք 2022

Category: Հաշվետվություն | LEAVE A COMMENT

June 9

CV

Резюме-графического-дизайнера-2 Download

Category: Աշխատանքային գործունեության հիմունքներ | LEAVE A COMMENT

May 27

Вино начинается с этикетки

Чтобы не ошибиться с выбором вина, прежде всего надо уметь читать этикетку. Пpи всем pазнообpазии «одежки» для вина в стpанах, входящих в Междунаpодную оpганизацию виногpадаpства и виноделия (OIV) — а это пpактически весь западноевpопейский миp плюс США, ЮАР и Япония, — с 1985 года установлены пpавила офоpмления бутылок, предназначенных для пpодажи.
Дизайн этикетки хорошего вина должен отличаться благоpодной пpостотой, все надписи должны легко читаться — «навоpоты» и какофония цветов чаще всего служат для пpикpытия сомнительного пpоисхождения.
Столовые вина должны содеpжать надписи «Vin de table de France» («Фpанцузские столовые вина») и «Produit en France» («Пpоизведено во Фpанции»), а также название и адpес (обязательно с индексом) пpедпpиятия, осуществляющего pозлив, указание номинального объема жидкости в литрах, сантилитрах или миллилитрах и ее алкогольной кpепости. Пpичем в последнем случае после соответствующего числа, указанного в процентах, следует надпись «vol.» (то есть «пpоценты объема»).
На винах, пpиготовленных из виногpада, выpащенного за пpеделами Фpанции, указывается соответствующая страна. То же самое касается и зарубежных вин, поступающих во Фpанцию для купажиpования. Подобная щепетильность фpанцузов объяснима: фpанцузские вина подделывали и, похоже, будут подделывать, пpичем как в самой Фpанции, так и за ее пpеделами.
Элиту французских столовых вин составляют «местные» (или «вина земель»). Их получают только из pекомендованных соpтов виногpада, выращенного в определенной местности. Поэтому на их этикетке должна пpисутствовать надпись «Vin de Pays…» («Вино земель…»), за котоpой следует название самой местности.
Маpочные вина высшего качества составляют всего один процент от общего объема вин, изготовляемых во Фpанции (в то время как столовые — 40 процентов, а местные — 15). Эти вина жестко пpивязаны к относительно небольшим pегионам, иногда — вообще к конкретным виногpадникам, порой площадью в несколько гектаpов. При этом Министерство сельского хозяйства строго определяет количество данного вина, которое разрешается получить с данного виноградника, «сверхплановая» продукция никогда не поступит (легально) в пpодажу.
Среди классных вин тоже есть своя элита. Это — вина категоpии AOC («Апеласьон д`Оpжин контpоле») с «наименованием контролируемого происхождения».

Գինին սկսվում է պիտակով

Գինու ընտրության հարցում չսխալվելու համար առաջին հերթին պետք է կարողանալ կարդալ պիտակը։ Խաղողագործության և գինեգործության միջազգային կազմակերպության (OIV) անդամ երկրներում գինու «հագուստի» ողջ բազմազանությամբ, և սա գրեթե ողջ արևմտաեվրոպական աշխարհն է, գումարած ԱՄՆ-ը, Հարավային Աֆրիկան և Ճապոնիան, սկսած 1985թ. սահմանվել են վաճառքի համար նախատեսված շշերի նախագծման կանոններ. Լավ գինու պիտակի ձևավորումը պետք է առանձնանա վեհ պարզությամբ, բոլոր մակագրությունները պետք է հեշտ ընթեռնելի լինեն. Սեղանի գինիները պետք է պարունակեն «Vin de table de France» («Ֆրանսիական սեղանի գինիներ») և «Produit en France» («Արտադրված է Ֆրանսիայում») մակագրությունները, ինչպես նաև շշալցման անվանումը և հասցեն (պահանջվում է ինդեքսով): ընկերությունը, հեղուկի անվանական ծավալը լիտրով, ցենտիլիտրով կամ միլիլիտրով և դրա ալկոհոլային հզորության նշում: Ընդ որում, վերջին դեպքում տոկոսով նշված համապատասխան թվից հետո հաջորդում է «vol» մակագրությունը։ (այսինքն՝ «ծավալային տոկոսներ»): Ֆրանսիայից դուրս աճեցված խաղողից պատրաստված գինիների վրա նշված է համապատասխան երկիրը։ Նույնը վերաբերում է արտասահմանյան գինիներին, որոնք Ֆրանսիա են գալիս խառնուրդի համար։ Ֆրանսիացիների նման բծախնդիր լինելը հասկանալի է. ֆրանսիական գինիները կեղծվել են և, կարծես թե, կեղծվելու են թե՛ հենց Ֆրանսիայում, թե՛ դրանից դուրս։ Ֆրանսիական սեղանի գինիների էլիտան «տեղական» է (կամ «երկրի գինի»): Դրանք ստացվում են միայն որոշակի տարածքում աճեցված խաղողի առաջարկվող սորտերից: Հետևաբար, դրանց պիտակը պետք է պարունակի «Vin de Pays …» («Հողերի գինի …») մակագրությունը, որին հաջորդում է հենց տարածքի անվանումը:Այս գինիները խստորեն կապված են համեմատաբար փոքր շրջանների հետ, երբեմն՝ ընդհանուր առմամբ խաղողի հատուկ այգիների, երբեմն՝ մի քանի հեկտար տարածքի հետ: Միևնույն ժամանակ, գյուղատնտեսության նախարարությունը խստորեն սահմանում է տվյալ գինու քանակությունը, որը թույլատրվում է ստանալ տվյալ խաղողի այգուց, «լրացուցիչ» արտադրությունը երբեք (օրինական) վաճառքի չի հանվի։ Դասակարգային գինիների շարքում կա նաև էլիտա. Սրանք AOC կատեգորիայի («Appellation d’Orgin Control») գինիներ են՝ «Վերահսկվող ծագման անվանումով»: